Question

7．设向量$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{b}$=（4，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，λsinθ）（λ∈R）．
（1）设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为α，求tanα；
（2）若（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值$\sqrt{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用夹角公式求出cosα，得出sinα，
（2）代入坐标公式求出（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，利用辅助角公式解出最大值，求出λ．

解答 解：（1）cosα=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{17}}$．∴sinα=$\frac{5}{\sqrt{34}}$．∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{5}{3}$．
（2）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=（2，3）•（cosθ，λsinθ）=2cosθ+3λsinθ=$\sqrt{4+9{λ}^{2}}$sin（θ+φ）．
∴$\sqrt{4+9{λ}^{2}}$=$\sqrt{5}$．解得λ=$\frac{1}{3}$，或λ=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的夹角公式，数量积公式及三角函数化简，是中档题．