Question

已知数列 {a_n}的前n项和S_n=2n²-3n
（1）证明数列{a_n}是等差数列．
（2）若b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列的通项与前n项和的关系：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求出数列{a_n}的通项，利用等差数列的定义得证．
（2）根据数列{b_n}通项的特点：一等差与一等比数列的乘积得到的新数列，利用错位相减法求出其和．

解答：解：（1）a₁=S₁=-1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-3n-2（n-1）²+3（n-1）=4n-5
又a₁适合上式  a_n=4n-5（n∈N*）
当n≥2时，a_n-a_n-1=4n-5-4（n-1）+5=4{a_n}是Ap且d=4，a₁=-1
（2）b_n=（4n-5）•2ⁿ（差比数列求和）
∴S_n=-2¹+3•2²+…（4n-5）•2ⁿ①
①2S_n=-2²+…+（4n-9）•2ⁿ+（4n-5）•2ⁿ⁺¹②
①-②得-S_n=-2¹+4•2²+…+4•2ⁿ-（4n-5）•2ⁿ⁺¹=-2+4•

4(2n-1-1)

2-1

-(4n-5)•2n+1=-18-（4n-9）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=18+（4n-9）•2ⁿ⁺¹

点评：求数列的前n项和问题，一般先判断数列通项的特点，根据其特点选择合适的求和方法；常见的求和方法有：公式法、分组法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法．