Question

（2012•扬州模拟）若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则x²+y²的取值范围是

[

1

5

，1]

．

Answer 1

分析：由x+2y=1得x=1-2y，代入x²+y²得关于y的二次函数，因此可在闭区间[0，

1

2

]上求出函数的最大、最小值，从而得出x²+y²的取值范围．

解答：解：∵x、y满足x+2y=1，
∴x=1-2y，可得x²+y²=（1-2y）²+y²=5y²-4y+1
∵y≥0，x=1-2y≥0，∴0≤y≤

1

2

而5y²-4y+1=5（y-

2

5

）²+

1

5

由此可得，当y=

2

5

时，x²+y²取最小值

1

5

；当y=0时，x²+y²取最大值1
∴x²+y²的取值范围是[

1

5

，1]
故答案为：[

1

5

，1]

点评：本题给出已知等式x+2y=1，求x²+y²的最大最小值，着重考查了二次函数求闭区间上的最值的知识点，考查了消元的数学思想，属于基础题．