Question

17．如图，过原点O引两条直线l₁，l₂与抛物线W₁：y²=2px和W₂：y²=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A₁，B₁，A₂，B₂．
（Ⅰ）求抛物线W₁，W₂准线间的距离；
（Ⅱ）证明：A₁B₁∥A₂B₂；
（Ⅲ）若l₁⊥l₂，求梯形A₁A₂B₂B₁面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的性质即可求出答案，
（Ⅱ）设l₁：y=k₁x，代入抛物线方程，得A₁，A₂的横坐标分别是$\frac{2p}{{k}_{1}^{2}}$和$\frac{4p}{{k}_{1}^{2}}$，即可得到△OA₁B₁∽△OA₂B₂，即A₁B₁∥A₂B₂．
（Ⅲ）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），直线A₁B₁方程为x=ty+m₁，根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A₁B₁方程为x=ty+2p，A₂B₂方程为x=ty+4p，
再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知，抛物线W₁，W₂的准线分别为x=-$\frac{p}{2}$和x=-p，
所以，抛物线W₁，W₂准线间的距离为$\frac{p}{2}$
（Ⅱ）设l₁：y=k₁x，代入抛物线方程，得A₁，A₂的横坐标分别是$\frac{2p}{{k}_{1}^{2}}$和$\frac{4p}{{k}_{1}^{2}}$．
∴$\frac{|O{A}_{1}|}{|O{A}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{\frac{4{P}^{2}}{{k}_{1}^{4}}+\frac{4{p}^{2}}{{k}_{1}^{2}}}}{\sqrt{\frac{16{p}^{2}}{{k}_{1}^{4}}+\frac{16{p}^{2}}{{k}_{1}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$，同理$\frac{|O{B}_{1}|}{|O{B}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，
所以△OA₁B₁∽△OA₂B₂，
所以A₁B₁∥A₂B₂．
（Ⅲ）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），直线A₁B₁方程为x=ty+m₁，
代入曲线y²=2px，得y²-2pty-2pm₁=0，
所以y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm₁．
由l₁⊥l₂，得x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
所以$\frac{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，由y₁y₂=-2pm₁，得m₁=2p．
所以直线A₁B₁方程为x=ty+2p，
同理可求出直线A₂B₂方程为x=ty+4p，
所以|A₁B₁|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=2p$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{{t}^{2}+4}$，|A₂B₂|=4p$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{{t}^{2}+4}$，

平行线A₁B₁与A₂B₂之间的距离为d=$\frac{2p}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
所以梯形A₁A₂B₂B₁的面积$S=\frac{1}{2}（|{{A_1}{B_1}}|+|{{A_2}{B_2}}|）•d=6{p^2}\sqrt{{t^2}+4}$≥12p²
当t=0时，梯形A₁A₂B₂B₁的面积达最小，最小值为12p²．

点评 本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，以及转化能力，属于中档题．