Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过右顶点A 的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）．
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）若圆D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与直线l_AB相切，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率，及B的坐标与几何量之间的关系，建立方程组，即可求得椭圆C和直线l的方程；
（2）化圆的一般方程为标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得实数m的值．

解答：解：（1）由题意，

c a = 6 3 9 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，∴

a2=12 b2=4

，∴椭圆C的方程为

y2

12

+

x2

4

=1；
∵右顶点A（2，0），B（-1，-3）
∴直线l的方程为x-y-2=0；
（2）圆D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0的标准方程为：（x-m）²+（y+2）²=8
∵圆D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与直线l_AB相切
∴

|m|

2

=2

2

∴m=±4

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的方程，考查直线与圆相切，解题的关键是正确运用椭圆的几何性质，属于中档题．