Question

给出下面四个命题：

①函数y=x²-5x+4(-1≤x≤1)的最大值为10，最小值为-;

②函数y=2x²-4x+1(-2＜x＜4)的最大值为17，最小值为-1;

③函数y=x³-12x(-3＜x＜3)的最大值为16，最小值为-16;

④函数y=x³-12x(-2＜x＜2)既无最大值，也无最小值.

其中正确命题的个数有(    )

A.1个             B.2个             C.3个                 D.4个

Answer 1

解析：①y′=2x-5,令y′=0,得x=,但x∈［-1,1］，舍去.又函数f(x)在区间的端点值为f(-1)=10,f(1)=0.

∴f(x)_max=10,f(x)_min=0.∴①错误.

②f′(x)=4x-4，令f′(x)=0,得x=1.

若x∈(1,4)，则f′(x)＞0,

若x∈(-2,1)，则f′(x)＜0.

∴x=1是函数f(x)的极小值点，也是函数f(x)的最小值.

∴f(x)_min=f(1)=-1.

可知f(x)无最大值.∴②错误.

③f′(x)=3x²-12=3(x²-4),

令f′(x)=0,得x=-2或x=2.

∴x=2和x=-2是函数f(x)的极值点,且f(2)=2³-24=-16,f(-2)=-2³+24=16.

又f(3)=-9,f(-3)=9,其图象如图所示.

由图象可得出

f(x)_max=f(-2)=16,

f(x)_min=f(2)=-16.

④f′(x)=3x²-12=3(x²-4).

令f′(x)=0，得x=2或x=-2.

但x∈(-2,2),

∴上述方程无解.∴函数f(x)在(-2,2)上既无最大值，也无最小值.

答案:B