Question

设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．

 

Answer 1

（1）f(x)＝（2）

【解析】(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.

∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.

且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.

∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝

(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，

方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．

分别研究方程①和方程②的根的情况：

(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根?a<2，方程①没有实数根?a≥2.

(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．∴??－<a≤2；

方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．

∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.

综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；

当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝2.

∴符合题意的实数a取值的集合为