Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积．

Answer 1

分析：（I）先通过函数f（x）在R上是奇函数，得出f（0）=0确定d的值，再通过f（x）在x=±1处取得极值得出f′（1）=f′（-1）=0，进而求出a，b的值
（II）导函数在区间（-1，1）上f′（x）＜0，得出f（x）在区间（-1，1）上单调递减．进而求出函数的最大最小值．进而证明题设．
（III）设切点为M（x₀，y₀），求出切线方程．点p代入切线方程，因由三条切线，可推出关于x₀的方程有3个根，通过导函数求出m的值．在（0，2）求得p对应的面积，再通过对称性，得出答案．

解答：解：（I）由题意f（0）=0，
∴d=0，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，又f′（1）=f′（-1）=0，
即

3+2b+c=0 3-2b+c=0

，
解得b=0，c=-3．
∴f（x）=x³-3x；
（II）∵f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（-1）-f（1）=4；
（III）设切点为M（x₀，y₀），
则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
因f′（x₀）=3（x₀²-1），
故切线l的方程为：y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀），
∵P（m，n）∈l，∴n-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（m-x₀）
整理得2x₀³-3mx₀²+3m+n=0．
∵若过点P（m，n）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于x₀方程2x₀³-3mx₀²+3m+n=0有三个实根．
设g（x₀）=2x₀³-3mx₀²+3m+n，
则g′（x₀）=6x₀²-6mx₀=6x₀（x₀-m），
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=m．
由对称性，先考虑m＞0
∵g（x₀）在（-∞，0），（m，+∞）上单调递增，
在（0，m）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³-3mx₀²+3m+n的极值点为x₀=0，或x₀=m
∴关于x₀方程2x₀³-3mx₀²+3m+n=0有三个实根的充要条件是

g(0)＞0 g(m)＜0

，
解得-3m＜n＜m³-3m．
故0＜m＜2时，点P对应平面区域的面积
S=

∫

2 0

(m3-3m)-(-3m)dm=

∫

2 0

m3dm=

1

4

m4

|

2 0

=4
故|m|＜2时，所求点P对应平面区域的面积为2S，即8．

点评：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．涉及单调性和极值问题时，常可利用导函数来解决问题．