Question

.设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有

f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。

   （1）求f(1), f()的值；

   （2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；

   （3）一个各项均为正数的数列{a??_n}满足f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1，n∈N*，其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式；

   （4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2ⁿ·a₁·a₂…a_n≥M·.(2a₁－1)·(2a₂－1)…(2a_n－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）f(1)=0f()=－1  （2） 函数y=f(x)在（0，+∞）上是增函数 

（3）数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而有a_n=n  

（4）存在   正数M的范围是

解析:

1）∵f(2×1)=f(2)+f(1), ∴f(1)=0

   又∵f(1)=f(2×)=f(2)+f(),且f(2)=1，∴f()=－1

（2）设…4分

∴函数y=f(x)在（0，+∞）上是增函数

（3）∵f(2)=1, ∴由f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1(n∈N*)，得f(2S_n)=f[a_n(a_n+1)]

∵函数y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，

∴2S_n=a_n(a_n+1)

∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而有a_n=n

（4）∵a_n=n，故不等式

可化为2ⁿ×1×2×3×…×n≥M×1×3×5×…×（2n－1），

即

则是单调递增

对一切n∈N*都成立的正数M的范围是