Question

【题目】已知椭圆C： 的左、右焦点为F1，F2，设点F1，F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A，B，P为椭圆C上三点，满足，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y＝x＋1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

（1）由题意可得，即可求出，即可求出椭圆的标准方程；

（2）方法一：设，利用向量，求得点的坐标，根据点在椭圆上，把直线的方程和椭圆方程，利用根与系数的关系、韦达定理，利用弦长公式，即可求解；

方法二：设，根据题意和点在椭圆上，化简整理可得，再根据中点坐标公式，消去 线段的中点的轨迹方程，再设两点点坐标为，根据弦长公式即可求出.

试题解析：

(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝2.

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝＋，∴＝，故点P坐标为.

由于点P在椭圆C上，

故有＋＝1，

＋＋＝1，

即＋＋＝1，即＋＝0.

令线段AB的中点坐标为Q(x，y)，则

因A，B在椭圆C上，故有

相加有＋＝2.

故＋＝2，

由于＋＝0，

故＋＝2，即Q点的轨迹E的方程为＋＝1.

联立得3x2＋4x－2＝0.

设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则x3＋x4＝－，

x3·x4＝－.

故|MN|＝|x3－x4|＝＝.

法二　设A(2cos α，2sin α)，B(2cos β，2sin β)，

∵＝＋，

∴＝，故点P坐标为.

∵点P在椭圆上，

∴(3cos α＋4cos β)2＋(3sin α＋4sin β)2＝25，

∴cos αcos β＋sin αsin β＝0，∴cos(α－β)＝0，

∴α－β＝，

∴B(2sin α，－2cos α)，

∴AB中点Q的坐标为(cos α＋sin α，sin α－cos α)，

设Q的点坐标为(x，y)，

∴x＝cos α＋sin α，y＝sin α－cos α，

∴＝cos2α＋2cos αsin α＋sin2α＝1＋2cos αsin α，

y2＝cos2α－2cos αsin α＋sin2α＝1－2cos αsin α，

∴＋y2＝2，

即线段AB中点Q的轨迹为E的方程为＋＝1.

设M，N两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，

由消y，

整理得3x2＋4x－2＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|MN|＝|x1－x2|＝×＝.