Question

9．如图，△ABC是等边三角形，BM=CN，∠1=60°，∠DMN=2∠N，求证：∠N=30°

Answer 1

分析 由正弦定理ME=EN，设ME=EN=1，从而DE=$\frac{sinN}{sin（60°-N）}$，由∠EDM=120°-2∠N，得DE=$\frac{sinNcosN}{sin（60°-N）cos（60°-N）}$，由此能证明N=30°．

解答 证明：由正弦定理得$\frac{NE}{sin∠ECN}$=$\frac{CN}{∠CEN}$，$\frac{ME}{sinB}$=$\frac{BM}{sin∠BEM}$，
∵∵△ABC是等边三角形，BM=CN，
∴ME=EN，设ME=EN=1，
∵∠1=60°，∴∠EDN=60°-∠N
∴DE=$\frac{sinN}{sin（60°-N）}$，
∵∠EDM=120°-2∠N
∴DE=$\frac{sin2N}{sin（120°-2N）}$=$\frac{sinNcosN}{sin（60°-N）cos（60°-N）}$=$\frac{sinN}{sin（60°-N）}$，
∵0＜N＜60°，∴sinN，sin（60°-N）都不为0
∴cosN=cos（60°-N），∴N=60°-N，
解得N=30°．

点评 本题考查三角形一个内角为30°的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、二倍角公式的合理运用．