Question

12．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD在△ABC的内部，且BD：DC：AD=2：3：6，则∠BAC=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 设BD=2x，则DC=3x，AD=6x，利用直角三角形中的边角关系求得tan∠BAD和tan∠CAD的值，再利用两角和的正切公式求得tan∠BAC的值，可得∠BAC的值．

解答 解：在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD在△ABC的内部，且BD：DC：AD=2：3：6，
设BD=2x，则DC=3x，AD=6x，故tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2x}{6x}$=$\frac{1}{3}$，tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3x}{6x}$=$\frac{1}{2}$，
故tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）=$\frac{tan∠BAD+tan∠CAD}{1-tan∠BAD•tan∠CAD}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{2}}$=1，
再结合∠BAC∈（0，π），求得∠BAC=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式，属于基础题．