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如图,椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,P为椭圆上的一点,且满足PF1⊥PF2
(1)求三角形PF1F2的面积.
(2)若此椭圆长轴为8,离心率为
3
2
,求点P的坐标.
分析:(1)利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|PF1|,|PF2|的方程,求出|PF1|•|PF2|的值,利用直角三角形的面积公式求出△PF1F2的面积.
(2)由题知:a=4,得出椭圆的标准方程,再根据PF⊥PF2得到P为以F1F2为直径的圆上,两者结合组成方程组求解即可得点P的坐标.
解答:解:(1)根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,平方得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2
又PF⊥PF2∴|PF1|2+|PF2|2=4c2
∴|PF1||PF2|=2b2
∴S=
1
2
|PF1||PF2|=b2…7′.
(2)由a=4,
c
a
=
3
2
得b2=4  ….9′
∴椭圆的标准方程为
x2
16
+
y2
4
=1  …..10′
由PF⊥PF2∴P为以F1F2为直径的圆上.….13′
x2
16
+
y2
4
=1  ①x2+y2=12  ②
联列方程组 得x=±
2
3
3
y=±
4
6
3

∴点P的坐标:P1
2
3
3
4
6
3
)   P2(-
2
3
3
4
6
3
)  
 P3(-
2
3
3
,-
4
6
3
)    P4
2
3
3
,-
4
6
3
)….15′
点评:本题考查椭圆的定义、椭圆的简单性质的应用,以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法,考查计算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A(0,
2
),且离心率等于
3
2
,过点M(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆相交于P,Q不同两点(与点B不重合),椭圆与x轴的正半轴相交于点B.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若
PB
QB
=0
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•盐城模拟)(本题文科学生做)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1(-4,0),F2(4,0),A(0,8),直线y=t(0<t<8)与线段AF1、AF2分别交于点P、Q.
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①求证:圆心C在定直线7x+4y+8=0上;
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,椭圆的标准方程为数学公式,P为椭圆上的一点,且满足PF1⊥PF2
(1)求三角形PF1F2的面积.
(2)若此椭圆长轴为8,离心率为数学公式,求点P的坐标.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省重点高中高二(上)12月月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,椭圆的标准方程为,P为椭圆上的一点,且满足PF1⊥PF2
(1)求三角形PF1F2的面积.
(2)若此椭圆长轴为8,离心率为,求点P的坐标.

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