Question

一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为（　　）

• A、1：3
• B、1：5
• C、1：7
• D、1：9

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．

解答： 解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R
当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=

3

3

a，到相对棱的距离是

2 3

3

a
又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为

2 3

3

a，
 球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离

2 3

3

a，棱锥的高为

3

3

a，
故正三棱锥外接球的半径满足R₂²=（

2 3

3

a）²+（

3

3

a）²=

5

3

a²，
∴内切球与外接球表面积之比为4（πR²）：（4πR₂²）=R²：R₂²=1：5．
故选：B．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是本题的关键．