Question

20．用直线y=m和直线y=x将区域x²+y²≤2分成若干块．现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 区域x²+y²≤2表示以原点O（0，0）为圆心，半径等于$\sqrt{2}$的一个圆面，经过分类讨论可得，只有当-1＜m＜1时，圆面被分成了4部分，按题中要求的涂色方法共有A₅⁴=120种，
满足条件，从而得出结论．

解答 解：如图所示：区域x²+y²≤2表示以原点O（0，0）为圆心，半径等于$\sqrt{2}$的一个圆面（圆周以及圆周内部），
直线y=x和圆周的交点为 A（1，1 ）、B（-1，-1）．
直线y=m表示一条和x轴平行的直线，
①当1≤|m|＜$\sqrt{2}$时，圆面被分成了3部分，用5种不同的颜色给这3块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，
则共有A₅³=60种不同的染色方法，不满足条件．
②当|m|≥$\sqrt{3}$时，圆面被分成了2部分，按题中要求的涂色方法共有A₅²=20种，不满足条件．
③显然，当-1＜m＜1时，圆面被分成了4部分，按题中要求的涂色方法共有A₅⁴=120种，满足条件．
综上所述m的取值范围为（-1，1）．
故答案为：（-1，1）

点评 本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，直线和圆的位置关系，体现了数形结合及分类讨论的数学思想，属于中档题