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10.已知二次函数f(x)=x2+bx+1,
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数b的取值范围;
(2)是否存在实数b,使得函数f(x)在区间[0,1]上有两个不同的零点?若存在,求实数b的取值范围,若不存在,请说明理由;
(3)若f(x)≥f(-$\frac{1}{2}$)对任意x∈R恒成立,求证:当x>0时,$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$<x2+2.

分析 (1)函数f(x)=x2+bx+1的图象是开口朝上,且以直线x=-$\frac{b}{2}$为对称轴的抛物线,由函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,可得:-$\frac{b}{2}$≤1,解得实数b的取值范围;
(2)不存在实数b,使得函数f(x)在区间[0,1]上有两个不同的零点,由对勾函数的图象和性质可说明理由;
(3)若f(x)≥f(-$\frac{1}{2}$)对任意x∈R恒成立,则b=1,利用导数法可证得:当x>0时,$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$<x2+2.

解答 解:(1)函数f(x)=x2+bx+1的图象是开口朝上,且以直线x=-$\frac{b}{2}$为对称轴的抛物线,
由函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴-$\frac{b}{2}$≤1,
解得:b≥-2;
(2)显然x=0不是函数f(x)的零点.
当x∈(0,1]时,f(x)=x2+bx+1=0,可化为:-b=x+$\frac{1}{x}$,
令g(x)=x+$\frac{1}{x}$,由对勾函数的图象和性质可得:
g(x)=x+$\frac{1}{x}$在x∈(0,1]时单调递减,
故直线y=-b与g(x)=x+$\frac{1}{x}$在x∈(0,1]时的图象至多有一个交点,
故不存在实数b,使得函数f(x)在区间[0,1]上有两个不同的零点;
证明:(3)∵f(x)≥f(-$\frac{1}{2}$)对任意x∈R恒成立,
∴-$\frac{b}{2}$=-$\frac{1}{2}$,即b=1,
则$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$<x2+2时,$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}-{x}^{2}-2$<0,
令F(x)=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}-{x}^{2}-2$,
则F′(x)=$\frac{{x-x}^{2}}{{e}^{x}}-2x$=$\frac{x(1-x-2{e}^{x})}{{e}^{x}}$,
当x>0时,F′(x)<0恒成立,
故x>0时,F(x)为减函数,
∴F(x)<F(0)=-1<0,
即当x>0时,$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}-{x}^{2}-2$<0,
即当x>0时,$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$<x2+2.

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的零点,恒成立问题,是函数的图象和性质与导数的综合应用,难度中档.

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