Question

10．已知二次函数f（x）=x²+bx+1，
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数b的取值范围；
（2）是否存在实数b，使得函数f（x）在区间[0，1]上有两个不同的零点？若存在，求实数b的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）对任意x∈R恒成立，求证：当x＞0时，$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜x²+2．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x²+bx+1的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{b}{2}$为对称轴的抛物线，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，可得：-$\frac{b}{2}$≤1，解得实数b的取值范围；
（2）不存在实数b，使得函数f（x）在区间[0，1]上有两个不同的零点，由对勾函数的图象和性质可说明理由；
（3）若f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）对任意x∈R恒成立，则b=1，利用导数法可证得：当x＞0时，$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜x²+2．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+bx+1的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{b}{2}$为对称轴的抛物线，
由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴-$\frac{b}{2}$≤1，
解得：b≥-2；
（2）显然x=0不是函数f（x）的零点．
当x∈（0，1]时，f（x）=x²+bx+1=0，可化为：-b=x+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，由对勾函数的图象和性质可得：
g（x）=x+$\frac{1}{x}$在x∈（0，1]时单调递减，
故直线y=-b与g（x）=x+$\frac{1}{x}$在x∈（0，1]时的图象至多有一个交点，
故不存在实数b，使得函数f（x）在区间[0，1]上有两个不同的零点；
证明：（3）∵f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）对任意x∈R恒成立，
∴-$\frac{b}{2}$=-$\frac{1}{2}$，即b=1，
则$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜x²+2时，$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}-{x}^{2}-2$＜0，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}-{x}^{2}-2$，
则F′（x）=$\frac{{x-x}^{2}}{{e}^{x}}-2x$=$\frac{x（1-x-2{e}^{x}）}{{e}^{x}}$，
当x＞0时，F′（x）＜0恒成立，
故x＞0时，F（x）为减函数，
∴F（x）＜F（0）=-1＜0，
即当x＞0时，$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}-{x}^{2}-2$＜0，
即当x＞0时，$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜x²+2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，恒成立问题，是函数的图象和性质与导数的综合应用，难度中档．