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(1)如果log 
1
2
|x-
π
3
|≥log 
1
2
π
2
那么sinx的取值范围是
 

(2)如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值
范围是
 
考点:复合函数的单调性
专题:函数的性质及应用
分析:(1)根据对数函数的单调性结合绝对值不等式的解法即可得到结论.
(2)利用换元法结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论.
解答: 解:(1)如果log 
1
2
|x-
π
3
|≥log 
1
2
π
2
,则0<|x-
π
3
|≤
π
2

即-
π
2
≤x-
π
3
π
2
且x≠
π
3

即-
π
6
≤x≤
6
且x≠
π
3

则-
π
6
≤x≤
6
且x≠
π
3

-
1
2
sinx≤1;
(2)设t=ax,则函数f(x)=ax(ax-3a2-1)等价为y=t(t-3a2-1)=t2-(3a2+1)t,
若a>1,当x≥0时,t≥1,
若f(x)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,
则等价为y=t(t-3a2-1)=t2-(3a2+1)t在[1,+∞)上为增函数,即-
-(3a2+1)
2
=
3a2+1
2
≤1

即3a2+1≤2,a2
1
3
,此时不成立,
若0<a<1,当x≥0时,0<t<1,
若f(x)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,
则等价为y=t(t-3a2-1)=t2-(3a2+1)t在(0,1)上为减函数,即-
-(3a2+1)
2
=
3a2+1
2
≤1,
即3a2+1≤2,a2
1
3
,此时0≤a≤
3
3
成立,
故实数a的取值范围是 0≤a≤
3
3

故答案为:-
1
2
sinx≤1,0≤a≤
3
3
点评:本题主要考查对数不等式的求解以及复合函数单调性的应用,利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键.
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