【题目】已知是直线上任意一点,过作,线段的垂直平分线交于点.
(Ⅰ)求点的轨迹对应的方程;
(Ⅱ)过点的直线与点的轨迹相交于两点,( 点在轴上方),点关于轴的对称点为,且,求的外接圆的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)本问考查轨迹方程的求法,根据题画出图形辅助分析,观察图形可知,恒有,根据定义到定点与定直线距离相等的点轨迹为抛物线,因此点的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线,可以求出相应的方程为;(Ⅱ)本问重点考查直线与抛物线问题,分析题意可知,过点的直线斜率显然存在且不为0,所以可设直线的方程为,联立直线方程与抛物线方程,消去未知数,得到关于的一元二次方程,需要考虑到的条件有判别式,韦达定理,然后根据,转化为,通过坐标表示,于是可以求出的值,这样就得到了直线的方程,接下来需要确定的外接圆圆心和半径,线段, 垂直平分线的交点即为圆心,在根据弦长公式确定半径即可,于是得到外接圆方程.
试题解析:(Ⅰ)连接,由于是线段垂直平分线上的点,则,即到点的距离和到直线的距离相等、所以点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线.
其中
所以点的轨迹对应的方程为.
(Ⅱ)设, , , 的方程为.
将代入并整理得
,由,
从而, ,
, .
因为,
故,解得,
所以的方程为,
设中点为,
则, ,
中垂线方程.
令得,圆心坐标,到的距离为.
,
所以圆的半径
的外接圆的方程.
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【题目】已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M,且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为.
(Ⅰ)证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标;
(Ⅱ)求三角形ABM的面积的最大值.
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【题目】潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑,某班同学准备测量观光塔的高度(单位:米),如图所示,垂直放置的标杆的高度米,已知, .
(1)该班同学测得一组数据: ,请据此算出的值;
(2)该班同学分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到观光塔的距离(单位:米),使与的差较大,可以提高测量精确度,若观光塔高度为136米,问为多大时, 的值最大?
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【题目】某工厂拟造一座平面为长方形,面积为的三级污水处理池.由于地形限制,长、宽都不能超过,处理池的高度一定.如果池的四周墙壁的造价为元,中间两道隔墙的造价为元,池底的造价为元,则水池的长、宽分別为多少米时,污水池的造价最低?最低造价为多少元?
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【题目】为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照, , , 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在, 的数据).
(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的, 的值;
(Ⅱ)分数在的学生设为一等奖,获奖学金500元;分数在的学生设为二等奖,获奖学金200元.已知在样本中,获一、二等奖的学生中各有一名男生,则从剩下的女生中任取三人,求奖学金之和大于600的概率.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60,G为BC的中点.
(1)求证:FG平面BED;
(2)求证:平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=log4(a2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60,G为BC的中点.
(1)求证:FG平面BED;
(2)求证:平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
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