Question

已知直线x+y=1过抛物线y²=2px的焦点F．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A，B两点若在x轴上存在一点E（x₀，0），使得△ABE是等边三角形，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用直线x+y=1过抛物线y²=2px的焦点F，可得F（1，0），故可求抛物线C的方程；
（2）设直线l；y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x（x＞0）得k²x²+2（k²-2）x+k²=0，确定线段AB的垂直平分线方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，令y=0，得x0=

2

k2

+1，利用△ABE是等边三角形，即可求得结论．

解答：解：（1）直线x+y=1与x轴交于（1，0）
∵直线x+y=1过抛物线y²=2px的焦点F
∴抛物线的焦点为F（1，0），故p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）设直线l：y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x（x＞0），消元可得k²x²+2（k²-2）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

2(k2-2)

k2

，x₁x₂=1，
∴AB的中点为(

2-k2

k2

，

2

k

)，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，
令y=0，得x0=

2

k2

+1
∵△ABE是等边三角形，∴点E到直线l的距离为

3

2

|AB|，
∵点E到直线l的距离为

|kx0|

k2+1

，|AB|=

1+k2

×

4 1-k2

k2

，
∴

|kx0|

k2+1

=

3

2

×

1+k2

×

4 1-k2

k2

∴k=±

3

2

∴x0=

2

k2

+1=

11

3

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点线距离的计算，属于中档题．