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已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)如果x为正实数,f(x)<0,并且f(1)=-
1
2
,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
考点:抽象函数及其应用
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:(1)可令y=-x,得到f(x)+f(-x)=f(0),再令x=y=0,可求得f(0)=0,从而可证明f(x)是奇函数;
(2)确定f(x)在R上单调递减,可得f(-2)为最大值,f(6)为最小值,即可得出结论.
解答: (1)证明:令y=-x,得:f(x)+f(-x)=f(0),
令x=y=0,则f(0)=2f(0)⇒f(0)=0,
∴f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数;…(6分)
(2)解:设x1<x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f(x2+(-x1))=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在R上单调递减.
∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.
∵f(1)=-
1
2
,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.…(12分)
点评:本题考查函数奇偶性、单调性的判断,着重考查赋值法研究抽象函数的奇偶性,属于中档题.
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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosA=ccosA+acosC.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=
2
a,△ABC的面积S=
3
12
,求a的长.

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已知A,B,C是△ABC的三个内角,其对边分别为a,b,c且a-b=
2
-1,sinA=
5
5
,sinB=
10
10

(Ⅰ)求a,b的值;  
(Ⅱ)若角A为锐角,求角C和边c的值.

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某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出(xi)万元与公司所获得利润(yi)万元的统计资料如下表:
序号 科研费用支出xi 利润yi xiyi
x
2
i
1 5 31 155 25
2 11 40 440 121
3 4 30 120 16
4 5 34 170 25
5 3 25 75 9
6 2 20 40 4
合计 30 180 1000 200
(1)求利润(yi)对科研费用支出(xi)的线性回归方程;
(2)当科研费用支出为10万元时,预测利润是多少?

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(1)设i是虚数单位,将
1+i
1-i
表示为a+bi的形式(a,b∈R),求a+b;
(2)二项式(
1
3x
-
x
2
n展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍,求n.

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对于函数f(x),若f(x)图象上存在2个关于原点对称,则称f(x)为“局部中心对称函数”.
(Ⅰ)已知二次函数f(x)=ax2+2ax-4(a∈R,a≠0),试判断f(x)是否为“局部中心对称函数”?并说明理由.
(Ⅱ)若f(x)=4x-m•2x+1+m2-4为定义域R上的“局部中心对称函数”,求实数m的取值范围.

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已知{an}是等差数列,公差d≠0,a1,a3,a13成等比数列,Sn是{an}的前n项和
(1)求证:S1,S3,S9成等比数列;
(2)若S3=9,an=21,求n.

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计算:
(1)(
3
2
i-
1
2
)(-
1
2
-
3
2
i)÷(1-i)
(2)∫
 
3
-1
(3x2-2x-1)dx.

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设等差数列{an}的前n项的和为Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取最大值时,n的值为
 

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