Question

关于函数f(x)=2|x+

1

x

|，下列命题判断错误的是（　　）

A．图象关于原点成中心对称

B．值域为[4，+∞）

C．在（-∞，-1]上是减函数

D．在（0，1]上是减函数

Answer 1

分析：A．计算出f（-x），比较与f（x）的关系从而确定函数的奇偶性．B．求出函数|x+

1

x

|的最小值，利用复合函数的单调性求y的取值范围．C．利用复合函数的单调性，先判断函数|x+

1

x

|的单调性．然后再判断复合函数的单调性．D．先判断函数|x+

1

x

|的单调性．然后再判断复合函数的单调性．

解答：解：A．因为f(-x)=2|-x-

1

x

|=2|x+

1

x

|=f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，所以A错误．
B．因为|x+

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x

|=|x|+

1

|x|

≥2，所以f(x)=2|x+

1

x

|=2|x|+

1

|x|

≥22=4，所以函数的值域为[4，+∞），所以B正确．
C．因为函数|x+

1

x

|在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，所以函数f(x)=2|x+

1

x

|在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，因为函数f(x)=2|x+

1

x

|是偶函数，所以在对称区间（-∞，-1]上是减函数，所以C正确．
D．因为函数|x+

1

x

|在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，所以函数f(x)=2|x+

1

x

|在（0，1）上为减函数，所以D正确．
故选A．

点评：本题考查与指数函数有关的复合函数的性质．考查函数的奇偶性，单调性与值域的求法和判断．正确理解复合函数之间的关系是解决复合函数性质的关键．