Question

10．已知y=f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，相邻两个最值点间的距离为$\frac{1}{2}\sqrt{64+{π^2}}$，图象过点（0，1）．
（1）求函数解析式；
（2）把y=f（x）图象向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，利用周期公式可求ω，利用已知及勾股定理可求A的值，代入（0，1），结合范围$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，即可求的φ的值，即可得解函数解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得：$y=f（x-m）=2sin[2（x-m）+\frac{π}{6}]=2sin（2x-2m+\frac{π}{6}）$，由题意可得$sin（\frac{5π}{6}-2m）=±1$，结合m＞0，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，
∴$ω=\frac{2π}{T}=2，\sqrt{{{（2A）}^2}+{{（\frac{T}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{64+{π^2}}⇒A=2$，
∴f（x）=2sin（2x+φ）（4分）
代入（0，1）得$sinφ=\frac{1}{2}$，
∵$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}，f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$（6分）
（2）平移后得$y=f（x-m）=2sin[2（x-m）+\frac{π}{6}]=2sin（2x-2m+\frac{π}{6}）$（8分）
代入$x=\frac{π}{3}$，则$sin（\frac{5π}{6}-2m）=±1$，
令$\frac{5π}{6}-2m=\frac{π}{2}+kπ⇒m=\frac{π}{6}-\frac{π}{2}k，k∈Z$（10分）
∵m＞0，令k=0得${m_{min}}=\frac{π}{6}$（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．