Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．
（1）求证：平面POB⊥平面PAD；
（2）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMO．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得四边形BCDO为平行四边形，OB⊥AD，从而BO⊥平面PAD，由此能证明平面POB⊥平面PAD．
（2）连结AC，交BO于N，连结MN，由已知得MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMO．

解答： （1）证明：∵AD∥BC，BC=

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AD，O为AD的中点，
∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO．    
∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°  即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．∵BO?平面POB，∴平面POB⊥平面PAD．
（2）证明：连结AC，交BO于N，连结MN，
∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，
∴N是AC的中点，
又点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，
∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，
∴PA∥平面BMO．

点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．