Question

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

Answer 1

分析：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF的长度；
（2）根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．

解答：解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴

PF

PC

=

PD

PO

由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故PF=

PC•PD

PO

=

12

4

=3．

（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2-r=1即r=1
所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则PT²=PB•PO=2×4=8，即PT=2

2

点评：本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．