Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（I） 当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，在区间[-1，0]上是否存在实数k使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，且f′（x）=-3x²+4x-1，f′（2）=-5．由此能求出曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程．
（Ⅱ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．令f′（x）=0，解得x=

a

3

，或x=a．由a的符号进行分类讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅲ）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．由a＞3，得

a

3

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是减函数，知要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）≥f（k²-cos²x），x∈R，只要k-cosx≤k²-cos²x，（x∈R）．由此能推导出在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（x-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．…13分．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，
且f′（x）=-3x²+4x-1，f′（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．…3分
（Ⅱ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=

a

3

，或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当变化时，f′（x）的正负如下表：

x	（-∞， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	↓	0	↑	0	↓

因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f（

a

3

），且f（

a

3

）=-

4

27

a³；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…5分
（2）若a＜0，当变化时，f′（x）的正负如下表：

x	（-∞，a）	a	（a， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f′（x）	↓	0	↑	0	↓

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在x=

a

3

处取得极大值f（

a

3

），且f（

a

3

）=-

4

27

a³． …8分
（Ⅲ）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．
由a＞3，得

a

3

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，
k²-cos²x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x，（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k，（x∈R）①
设g（x）=cos²x-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，则函数g（x）在R上的最大值为-

1

4

．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2，或k≤-1．
所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，
使得f（x-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．…13分．

点评：本题考查曲线的切线方程式的求法，考查函数的极大值和极小值的求法，探索满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．