Question

12．已知a＞b＞1且2log_ab+3log_ba=7，则$a+\frac{1}{{{b^2}-1}}$的最小值为3．

Answer 1

分析 由对数的运算可得b²=a，整体代入可得$a+\frac{1}{{{b^2}-1}}$=a+$\frac{1}{a-1}$=a-1+$\frac{1}{a-1}$+1，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞b＞1，∴t=log_ab＜1，
又∵2log_ab+3log_ba=7，∴2t+$\frac{3}{t}$=7，
解得t=$\frac{1}{2}$，或t=3（舍去），
∴t=log_ab=$\frac{1}{2}$，∴b²=a，
∴$a+\frac{1}{{{b^2}-1}}$=a+$\frac{1}{a-1}$=a-1+$\frac{1}{a-1}$+1
≥2$\sqrt{（a-1）\frac{1}{a-1}}$+1=3，
当且仅当a-1=$\frac{1}{a-1}$即a=2且b=$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：3

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算和消元思想，属基础题．