在三棱台ABC-中,侧棱⊥底面ABC,∠ABC=∠=.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若=1,AB=2,求二面角B--C的正切值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点到平面的距离.
(Ⅰ)证明: ∵⊥平面ABC, ∴⊥BC. 又∠ABC=, ∴BC⊥AB. 由于∩AB=B, ∴BC⊥平面, ∴在平面上的射影, ∵,
(Ⅱ)解:设=α,由(Ⅰ)知α为B--C的平面角. 取AB的中点D,连,则为的BA边上的中线. 由于BD=,又BD∥⊥BD. ∴四边形是矩形. ∴⊥BA,又, ∴是等腰直角三角形. 从而是正方形. ∴. ∵,∴CB=BA=2. ∵BC⊥面, ∴BC⊥. ∴在中,得tanα=,∴α=arctan. ∵⊥面ABC,, ∴⊥面ABC. 由D作DE⊥CA交CA于E,连,则⊥CA. ∴为二面角-CA-B的平面角. 设=β. 由, ∴在中,, ∴α=β,即二面角B--C与二面角-CA-B的大小相等, (Ⅲ)解: ∵∥BC,∴ ∴点的距离. 连于O, ∵四边形. 由(Ⅰ)知BC⊥平面, ∴⊥BC ∴. ∴的距离. ∵, ∴点到平面的距离为,即点的距离为. |
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科目:高中数学 来源:2003年浙江省杭州二中高三月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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