Question

O为△ABC内一点，

AO

=λ

AB

+μ

AC

，则λ+2μ的取值范围

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：B连接AC中点D，并设AO所在直线交BD于E点，

AO

=k

AE

=λ

AB

+2μ

AD

，因为B，E，D三点共线，所以便有

λ

k

+

2μ

k

=1，所以得到λ+2μ=k，显然k＞0，并且O趋向C时，k逐渐增大，当O与C重合时k=2，所以0＜k＜2．

解答： 解：如图，取AC中点D，并连接BD，设AO所在直线和BD交于E，并设

AO

=k

AE

；
∴k

AE

=λ

AB

+2μ

AD

；
∴

AE

=

λ

k

AB

+

2μ

k

AD

；
∵B，D，E三点共线；
∴

λ

k

+

2μ

k

=1；
∴λ+2μ=k；
∵O在△ABC内；
∴k＞0，而当O趋向于C点时，k不断增大，且k趋向2；
∴0＜k＜2；
∴λ+2μ的取值范围为（0，2）．
故答案为：（0，2）．

点评：考查共线向量基本定理，当A，B，C三点共线时，若

OB

=λ

OA

+μ

OC

，则λ+μ=1，要弄清O点的位置和k的取值的关系．