如图.建立平面直角坐标系xoy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120(1+k2)x2表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(Ⅰ)求炮的最大射程,(Ⅱ)设在第一象限有一飞行物.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a不超过多少时.炮弹可以击中它?请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（Ⅰ）求炮的最大射程；
（Ⅱ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx-

（1+k²）x²（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．

解答： 解：（1）在 y=kx-

（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-

（1+k²）x²=0．
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=

20k

1+k2

≤

=10当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-

（1+k²）a²=3.2成立，
即关于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6．
此时，k=

20a±

△

2a2

＞0．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标

点评：本题考查的知识要点：函数模型的应用，基本不等式的应用，考察级学生解决实际问题的能力，属于中档题型．

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