精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
18.已知函数$f(x)=lg\frac{x+1}{x-1}+lg(x-1)+lg(a-x)$ (a>1).
(I)求函数定义域并判断是否存在一个实数a,使得函数y=f(x)的图象关于某一条垂直于x轴的直线对称?若存在,求出这个实数a;若不存在,说明理由.
(II)当f(x)的最大值为2时,求实数a的值.

分析 (I)化简可得f(x)=lg[-x2+(a-1)x+a],由对数有意义可得1<x<a,由对称轴重合可得a的方程,推出矛盾,a不存在;
(II)问题等价于t=-x2+(a-1)x+a在对称轴x=$\frac{a-1}{2}$处取得最大值100,可得a的方程,解方程可得a值.

解答 解:(I)化简可得$f(x)=lg\frac{x+1}{x-1}+lg(x-1)+lg(a-x)$ 
=lg[$\frac{x+1}{x-1}•(x-1)(a-x)$]=lg[-x2+(a-1)x+a],
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}>0}\\{x-1>0}\\{a-x>0}\end{array}\right.$可得1<x<a,
若存在的话这条直线应该是x=$\frac{1+a}{2}$,
它应该与t=-x2+(a-1)x+a的对称轴x=$\frac{a-1}{2}$重合,
故$\frac{1+a}{2}$=$\frac{a-1}{2}$,矛盾,故不存在实数a满足题意;
(II)问题等价于t=-x2+(a-1)x+a在对称轴x=$\frac{a-1}{2}$处取得最大值100,
∴$\frac{4•(-1)•a-(a-1)^{2}}{4•(-1)}$=100,解得a=19,或a=-21(舍去),
∴当f(x)的最大值为2时,实数a的值为19.

点评 本题考查对数函数的图象和性质,涉及二次函数的对称性和最值,属中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.已知菱形ABCD与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相切,则菱形ABCD面积的最小值为(  )
A.8$\sqrt{2}$B.2$\sqrt{2}$C.2$\sqrt{3}$D.8$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.下列各组函数中,f(x)与g(x)相等的一组(  )
A.f(x)=($\sqrt{x}$)2,g(x)=xB.f(x)=$\frac{{x}^{2}}{x}$,g(x)=xC.f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$,g(x)=$\root{3}{{x}^{3}}$D.f(x)=$\root{6}{{x}^{3}}$,g(x)=$\sqrt{x}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.给出下列五种说法:
(1)函数y=ax(a>0,a≠1)与函数y=x2得到定义域相同;
(2)函数y=x2与y=3x的值域相同;
(3)函数y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$与y=$\frac{(1+{2}^{x})^{2}}{x•{2}^{x}}$均是奇函数;
(4)函数y=(x-1)2与y=2x-1在(0,+∞)上都是增函数;
(5)记函数f(x)=x-[x](注:[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.2]=3;[-2.3]=-3),则f(x)的值域是[0,1).
其中所有正确说法的序号是(1)(3)(5).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.已知x,y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-3≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$,则函数z=x+3y取得最大值是(  )
A.12B.9C.6D.3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.已知函数f(x)是R上的奇函数,在(0,+∞)上是增函数,且f(3)=0,则满足f(x)>0的实数x的范围是(  )
A.(-∞,-3)∪(0,3)B.(-3,0)∪(3,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,0)∪(0,3)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.设a=log23,$b={log_{\frac{1}{2}}}3$,c=3-2,则(  )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.已知点P是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上任一点,且点P在第一象限内,若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长,则该直角三角形斜边长的最小值为$\frac{5}{6}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

8.已知函数$f(x)=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,并求出f(x)的值域.

查看答案和解析>>

同步练习册答案