Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为。

（Ⅰ）求的极坐标方程；

（Ⅱ）设点的极坐标为，求面积的最小值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) :;:(Ⅱ)2

【解析】

（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；设点B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，从而ρρ0＝8，由此能求出C2的极坐标方程．

（2）由|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC|OC||ρBcosθ﹣ρAcosθ|＝|4﹣2cos2θ|，由此能求出S△ABC的最小值．

（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），

∴曲线C1的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，

设点B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），

则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，

∵|OA||OB|＝8，∴ρρ0＝8，

∴，ρcosθ＝4，

∴C2的极坐标方程为ρcosθ＝4．

（2）由题设知|OC|＝2，

S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC|OC||ρBcosθ﹣ρAcosθ|＝|4﹣2cos2θ|，

当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．