Question

【题目】设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+ ，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线． （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx=0，得x=1，所以函数f（x）=lnx的图象与x轴的交点坐标是（1，0），

依题意，得g（1）=a+b=0 ①

又 ， ，∵f（x）与g（x）在点（1，0）处有公切线，

∴g′（1）=f′（1）=1，即a﹣b=1 ②

由①、②得a= ， ；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），

则 ，

函数F（x）的定义域为（0，+∞）．

∵ ≤0，

∴函数F（x）在（0，+∞）上为减函数．

当0＜x＜1时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；

当x=1时，F（x）=F（1）=0，即f（x）=g（x）；

当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．

综上可知，当0＜x≤1时，f（x）≥g（x）；当x＞1时，f（x）＜g（x）．

【解析】（Ⅰ）首先求出函数f（x）的图象与x轴的交点坐标（1，0），代入函数g（x）后得到关于a，b的等式，再由两函数在（1，0）处由公切线，得到关于a，b的另一等式，两式联立即可求得a，b的值；（Ⅱ）令辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），把函数f（x）和g（x）的解析式代入，整理后求出其导函数，由导函数可知F（x）在定义域（0，+∞）内是减函数，然后分0＜x＜1，x=1，x＞1进行大小比较．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．