Question

已知向量

OP

=(2cos(

π

2

+x)，-1)，

OQ

=(-sin(

π

2

-x)，cos2x)，f(x)=

OP

•

OQ

．a、b、c是锐角三角形△ABC角A、B、C的对边，且f（A）=1，b+c=5+3

2

，a=

13

．
（1）在所给坐标系下用“五点法”作出y=f（x）（x∈[0，π]）的图象；
（2）求角A；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(x+

π

2

)[-sin(

π

2

-x)]-cos2x=-2sinx•（-cosx）-cos2x=2sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，利用五点法即可
（2）由f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1可得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，即2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，结合ABC为锐角三角形可求
（3）在△ABC中，由余弦定理得：a²=13=b²+c²-2bccosA可求bc，代入三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA即可

解答：解：（1）∵f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(x+

π

2

)[-sin(

π

2

-x)]-cos2x
=-2sinx•（-cosx）-cos2x=2sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
列表如下：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 2	π	3π 2	7π 4
f（x）	-1	0	2	0	- 2	-1

作出图象为：

（2）∵f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1
∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

，2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

∴A=

π

4

或A=

π

2

（舍去，∵△ABC为锐角三角形）．
∴A=

π

4

．
（3）在△ABC中，由余弦定理得：a²=13=b²+c²-2bccosA
∴13=(b+c)2-2bc-

2

bc
∴bc=15

2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×15

2

×

2

2

=

15

2

．

点评：本题以向量的数量积的坐标表示为载体，借助三角函数的二倍角公式及辅助角公式，考查了正弦函数的五点作图法及正弦函数的性质及正弦与余弦定理解三角形等知识的综合应用．