Question

设函数f（x）=a+

(-x2-4x)

和g（x）=

4x

3

+1，已知当x∈[-4，0]时，恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由f（x）≤g（x），变形得到

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1-a，由右边大于等于0得到a≤

4x

3

+1，结合x的范围得到a≤-

13

3

．然后把

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1-a两边平方得到
25x²+（70-24a）x+（1-a）²≥0．再由该不等式在x∈[-4，0]时恒成立列关于a的不等式组求得a的取值范围．

解答： 解：由f（x）≤g（x），得a+

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1，
即

(-x2-4x)

≤

4x

3

+1-a，①
由

4x

3

+1-a≥0，得a≤

4x

3

+1，
∵x∈[-4，0]，∴a≤-

13

3

．
把①式两边平方得，-x2-4x≤(

4x

3

+1-a)2，
即25x²+（70-24a）x+（1-a）²≥0．
要使当x∈[-4，0]时，上式恒成立，
则

a≤- 13 3 25×(-4)2+(70-24a)×(-4)+(1-a)2≥0

，解得a≤-

13

3

．
∴实数a的取值范围是（-∞，-

13

3

]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了二次不等式在区间上恒成立的解决方法，是中档题．