Question

9．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x=1时取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（3）若对?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞-2$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，从而求切线方程即可；
（2）求导f′（x）=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，从而可得f′（1）=0，解出a=1；从而判断函数的单调性；
（3）恒成立可化为对?x∈（0，+∞），f′（x）＞-2恒成立，从而可化为2ax²-ax+1＞0，讨论即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，
故f（1）=1-3+1=-1，f′（1）=2-3+1=0，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1，即y+1=0；
（2）∵f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，
∴f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，
∵函数f（x）在x=1时取得极值，
∴f′（1）=0，
∴a=1；
∴f′（x）=$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
∴f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
单调减区间为（$\frac{1}{2}$，1）；
（3）∵对?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞-2$恒成立，
∴对?x∈（0，+∞），f′（x）＞-2恒成立，
f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$＞-2，
即2ax-a+$\frac{1}{x}$＞0，
即$\frac{2a{x}^{2}-ax+1}{x}$＞0，
即2ax²-ax+1＞0，
若a＜0，存在x∈（0，+∞），使2ax²-ax+1＜0；
故不成立；
若a=0，恒成立；
若a＞0，2ax²-ax+1=2a（x-$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{a}{8}$＞0，
故1-$\frac{a}{8}$＞0，
故0＜a＜8；
综上所述，a的取值范围为[0，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．