Question

如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，
求证：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

Answer 1

分析：（1）取AC中点N，连接MN、BN，欲证DE=DA，根据三角形的中线又是高的三角形是等腰三角形，而M为AE中点，只需证明DM⊥AE即可；
（2）欲证平面BDM⊥平面AEC，根据面面垂直的判定定理可知在平面BDM内一直线与平面AEC垂直，而根据题意可得DM⊥平面AEC．

解答：证明：（1）取AC中点N，连接MN、BN，
∵△ABC是正三角形，
∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，
∴EC∥BD，EC⊥BN，
又∵M为AE中点，EC=2BD，
∴MN

∥ .

.

BD，∴BN

∥ .

.

DM，
∴四边形MNBD是平行四边形，
因为BN⊥AC，BN⊥EC，
所以BN⊥平面AEC，
∴DM⊥平面AEC，
∴DM⊥AE，
∴AD=DE．
（2）∵DM⊥平面AEC，DM?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面AEC．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及等腰三角形的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．