【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,是椭圆上的点,且的面积为。
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点,若椭圆上存在点,满足,其中是坐标原点,求的值。
【答案】(1); (2).
【解析】
(1)利用已知条件列出椭圆几何量的方程组,求解a,b,即可求椭圆C的方程;
(2)联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,结合向量关系,推出结果即可.
(1)∵△PF1F2的面积为,∴×2c×=,即c=1,
由,解得a2=2,b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1;
(2)由题意可得l:y=k(x﹣2),设点A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),
由,消y可得(1+2k2)x2﹣8kx+8k2﹣2=0,
∴△=64k2﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)>0,可得k2<,
∴x1+x2=,x1x2=,
∵,∴=3﹣3(﹣),即=(+),
∴(x,y)=(x1+x2,y1+y2),∴x=(x1+x2)=
y=[k(x1+x2)﹣4k]=,∴Q(,),∵点Q在椭圆C上,
∴+2=2,∴9k2=1+2k2,解得k=±.
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【题目】已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2
(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为 (t为参数),直线的参数方程为 (为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线
(1)写出的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,为与的交点,求的极径.
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【题目】已知函数的图像相邻两条对称轴间的距离为,且,则以下命题中为假命题的是( )
A.函数在上是增函数.
B.函数图像关于点对称
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数的图象关于直线对称
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【题目】下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)的几组对照数据:
x(年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(万元) | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)若知道y对x呈线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元,试根据(1)求出的线性回归方程,预测该型号设备技术改造后,使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?
参考公式:,.
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【题目】为提高产品质量,某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测,现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比,并对每个产品进行综合评分(满分100分),将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
(1)求图中的值,并求综合评分的中位数;
(2)用样本估计总体,视频率作为概率,在该条生产线中随机抽取3个产品,求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望.
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