Question

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得待定系数，即可求得函数的解析式．
（2）由题意结合二次函数的性质可得有

2a＜a+1 2a≥1

，或

2a＜a+1 a+1≤1

，由此解得a的取值范围．

解答：解：（1）设函数f（x）=）=ax²+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴c=1，且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x．
∴2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1，
故函数f（x）的表达式为f（x）=x²-x+1．
（2）由于f（x）在区间[2a，a+1]上单调，且二次函数f（x）的图象的对称轴为 x=1，
故有

2a＜a+1 2a≥1

，或

2a＜a+1 a+1≤1

． 解得

1

2

≤a＜1，或a≤0．
故a的取值范围为[

1

2

，1）∪（-∞，0]．

点评：本题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，二次函数的性质的应用，属于基础题．