精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网过x轴上的动点T(t,0),引抛物线y=x2+1两条切线TP,TQ,P,Q为切点.
(Ⅰ)求证:直线PQ过定点N,并求出定点N坐标;
(Ⅱ)若t≠0,设弦PQ的中点为M,试求S△OTM|OT|的最小值(O为坐标原点).
分析:(Ⅰ)根据抛物线方程设出P,Q的坐标,把P,Q分别代入抛物线方程进行求导,可求得直线TP,TQ的斜率,进而利用两点表示出两直线的斜率,建立等式整理后可推断出x1,x2为方程x2-2tx-1=0的两根,利用韦达定理可表示出x1+x2和x1x2,进而利用点斜式表示出直线PQ的方程,整理后把x1+x2和x1x2的表达式代入,求得y=2tx+2,进而可推断出直线PQ恒过定点(0,2)
(Ⅱ)设出点M的坐标,进而利用三角形面积公式表示出△OTM的面积,根据直线PQ恒过定点(0,2),设直线PQ方程,代入抛物线方程,整理后,利用韦达定理求得(x1+x2)=Kx1x2=-1.利用二次函数的性质可k的值确定y0的最小值,进而确定S△OTM|OT|的最小值.
解答:解:(Ⅰ)设P(x1,x12+1),Q(x2,x22+1)
把P代入抛物线方程进行求导得y'=2x1,即PT的斜率为2x1
x
2
1
+1
x1-t
=2x1,整理得x12-2tx1-1=0;同理可得x22-2tx2-1=0
∴x1,x2为方程x2-2tx-1=0的两根
∴x1+x2=2t,x1x2=-1
直线PQ的方程:y-(x12+1)=
x
2
2
-
x
2
1
x2-x1
(x-x1
整理得:y=(x1+x2)x-x1x2+1;即y=2tx+2
∴直线PQ恒过定点(0,2)
(Ⅱ)设点M坐标为(x0,y0),则s△OTM:|OT|=(
1
2
y0•|t|):|t|=
y0
2

由(Ⅰ)直线PQ过定点N(0,2),
设直线PQ方程为y=kx+2代入y=x2+1整理得x2-kx-1=0,
设p(x1,y1)Q(x1,y2),则(x1+x2)=Kx1x2=-1,y0=k0+2=k•
x1+x2
2
+2=
k2
2
+2≥2

当k=0时,y0最小值为:2,
所以s△OTM|OT|最小值为:1.
点评:本题主要考查了抛物线的应用和直线与抛物线的关系.注重了学生分析推理和基本的计算能力的考查.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设P(t,0)为x轴上的动点,过P作抛物线y=x2+1的两条切线,切点分别为A、B
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)求证:直线AB过定点,并求出该定点坐标.
(3)设△PAB的面积为S,求
S|OP|
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

过x轴上的动点T(t,0),引抛物线y=x2+1两条切线TP,TQ,P,Q为切点.
(Ⅰ)求证:直线PQ过定点N,并求出定点N坐标;
(Ⅱ)若t≠0,设弦PQ的中点为M,试求S△OTM|OT|的最小值(O为坐标原点).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省宁波市鄞州中学高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

设P(t,0)为x轴上的动点,过P作抛物线y=x2+1的两条切线,切点分别为A、B
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)求证:直线AB过定点,并求出该定点坐标.
(3)设△PAB的面积为S,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010年浙江省宁波市十校高三联考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

过x轴上的动点T(t,0),引抛物线y=x2+1两条切线TP,TQ,P,Q为切点.
(Ⅰ)求证:直线PQ过定点N,并求出定点N坐标;
(Ⅱ)若t≠0,设弦PQ的中点为M,试求S△OTM|OT|的最小值(O为坐标原点).

查看答案和解析>>

同步练习册答案