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已知
(1)若|-|2,求f(x)的表达式.
(2)若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称,求g(x)的解析式.
(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在上是增函数,求实数λ的取值范围.
【答案】分析:(1)根据,可求得=(-2cosx,2sin-2cos),=4cos2x+4-4sinx,从而可求得f(x)的表达式;
(2)函数y=f(x)的图象上任一点M(x,y),它关于原点的对称点为N(x,y),x=-x,y=-y,利用点M在函数y=f(x)的图象上,将其坐标代入y=f(x)的表达式即可;
(3)可令t=sinx,将h(x)=g(x)-λf(x)+1在转化为:h(t)=-(1+λ)t2+2(1-λ)t+1(-1≤t≤1),对t2的系数-(1+λ)分类讨论,利用一次函数(λ=-1)与二次函数(λ≠-1)的性质讨论解决即可.
解答:解(1):
=2+sinx-cos2x-1+sinx=sin2x+2sinx
(2):设函数y=f(x)的图象上任一点M(x,y
关于原点的对称点为N(x,y)
则x=-x,y=-y,
∵点M在函数y=f(x)的图象上
∴-y=sin2(-x)+2sin(-x),即y=-sin2x+2sinx
∴函数g(x)的解析式为g(x)=-sin2x+2sinx
(3)∵h(x)=-(1+λ)sin2x+2(1-λ)sinx+1,
设sinx=t,
∵x∈
∴-1≤t≤1,
则有h(t)=-(1+λ)t2+2(1-λ)t+1(-1≤t≤1).
①当λ=-1时,h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1,
②当λ≠-1时,对称轴方程为直线
ⅰ) λ<-1时,,解得λ<-1
ⅱ)当λ>-1时,,解得-1<λ≤0综上,λ≤0.
点评:本题考查三角函数的化简求值,二次函数的性质,难点在于通过三角换元得到“h(t)=-(1+λ)t2+2(1-λ)t+1(-1≤t≤1)”后,对t2的系数-(1+λ)分类讨论,也是易错点,属于难题.
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