Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，设M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax²+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

≤a≤1
分析：利用赋值法证明f（0）=1，因为f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，利用赋值法，可求得f（0）=1，断集合M，N分别表示什么集合，两个集合都是数集，M表示直线y=2a下方区域中y的值，N表示曲线y=ax²+2x+3，因为M∩N=∅，所以二者没有交点，据此可求出参数的范围．
解答：∵f（x+y）=f（x）f（y），令x=1，y=0，则f（1）=f（1）f（0），
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴f（1）＞0，
∴f（0）=1；
令y=-x，有f（0）=f（x）f（-x）=1，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴-x＜0，f（-x）=＞1．
即x＜0时，f（x）＞1．①
∴由f（y）f（1-2a）＞f（1）得，f（y）f（1）f（-2a）＞f（1），而f（1）＞0，
∴f（y）f（-2a）＞1，又f（x+y）=f（x）f（y），f（0）=1，
∴f（y-2a）＞f（0）=1，②
由①②可得y-2a＜0．即M={y|y＜2a}，③
由f（ax²+2x-y+3）=1，得：ax²+2x-y+3=0，
∴y=ax²+2x+3④．
令g（x）=y=ax²+2x+3，
当a＜0时，g（x）为开口向下的抛物线，y≤=3-，即N={y|y≤3-}，又M={y|y＜2a}，M∩N不可能为∅；
当a=0，y＜2a表示直线x=2a下方区域，g（x）=2x+3，此时M∩N非空；
当a＞0，g（x）为开口向上的抛物线，y≥3-，即N={y|y≥3-}；M={y|y＜2a}，而M∩N=∅，
∴3-≥2a＞0．
∴≤0，而a＞0，
∴≤a≤1．
故答案为：≤a≤1．
点评：本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值，着重考查对抽象函数关系式的理解与用用，突出转化思想与分类讨论思想的考查，属于难题．