Question

【题目】已知函数．

（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x﹣y+b＝0，求实数a，b的值；

（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；

（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a＝5．b＝﹣15．（2），（1，+∞）．（3）．

【解析】

（1）根据导数的几何意义，即切线的斜率，待定系数即可求解；

（2）求导，对参数进行分类讨论，利用导数判断单调性即可；

（3）利用导数对函数单调性进行讨论，求极小值关于的函数，再求函数的最大值即可.

（1）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R），

由f′（2）＝9，得a＝5．

∴

∴f（2）＝3，

∴（2，3）在直线9x﹣y+b＝0上，

∴b＝﹣15．

（2）①若a＝0，，

∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．

②若a＜0，则，

令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1．

∴f（x）的单调减区间为，（1，+∞）．

（3），0＜a＜1，

列表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由图可知：

f（x）的极小值为

．

当时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为．

故函数f（x）的极小值f（）取得最大值为.