Question

20．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．
（1）试写出利润 P（x）和Q（x）的函数关系式；
（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？

Answer 1

分析 （1）设P（x）=k₁x，代入（1，0.2），能求出P（x），设$Q（x）={k_2}\sqrt{x}$，代入（4，1.2），能求出Q（x）．
（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3-x万元，fiy bm 利润总和，利用换元法和配方法能求出怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润及其最大利润是多少万元．

解答 解：（1）设P（x）=k₁x，代入（1，0.2），
解得${k_1}=\frac{1}{5}$，所以$P（x）=\frac{1}{5}x$，…（3分）
设$Q（x）={k_2}\sqrt{x}$，代入（4，1.2），解得${k_2}=\frac{3}{5}$，
所以$Q（x）=\frac{3}{5}\sqrt{x}$．…（6分）
（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3-x万元，
利润总和为$f（x）=\frac{1}{5}（3-x）+\frac{3}{5}\sqrt{x}$，0≤x≤3，…（9分）（少定义域扣1分）
记$\sqrt{x}=t$，则$0≤t≤\sqrt{3}$，…（11分）
此时$g（t）=\frac{1}{5}（3-{t^2}）+\frac{3}{5}t=-\frac{1}{5}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{21}{20}$，…（13分）
当$t=\frac{3}{2}$，即$x=\frac{9}{4}=2.25$时，g（t）取得最大值$\frac{21}{20}$． …（15分）
答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，
最大获利为1.05万元． …（16分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查企业最大利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法的合理运用．