Question

15、给定项数为m （m∈N*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，m），这样的数列叫”0-1数列”．若存在一个正整数k （2≤k≤m-1），使得数列{a_n}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”．例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0，因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（1）已知数列{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列

是

“5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为“2阶可重复数列”，则m的最小值是

6

．

Answer 1

分析：（1）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即看判断数列是否为5阶可重复数列；
（2）项数为m的数列{a_n}是2阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续2项共有4种不同的情况，m=6，数列有5组连续2项，而3≤m≤5时，均存在不是“2阶可重复数列”的数列，要使数列一定是2阶可重复数列m的最小值必须是6．

解答：解：（1）数列{b_n}，因为b₂，b₃，b₄，b₅，b₆与b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀按次序对应相等，
所以数列{b_n}是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0；
（2）因为数列{a_n}的每一项只可以是0或1，所以连续2项共有2²=4种不同的情形．
若m=6，则数列{a_n}中有5组连续2项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为6的数列{a_n}一定是“2阶可重复数列”；
若m=5，数列0，0，1，1，0不是“2阶可重复数列”；则3≤m＜5时，
均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a_n}．
所以，要使数列{a_n}一定是“2阶可重复数列”，则m的最小值是6．

点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．