Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（2-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是[$\frac{8}{3}$，4）．

Answer 1

分析 当x＞1时f（x）=a^x单调递增，当x≤1时f（x）=（2-$\frac{a}{2}$）x+2单调递增，且（2-$\frac{a}{2}$）×1+2≤a¹，由此能求出实数a取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（2-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函数，
∴当x＞1时f（x）=a^x单调递增，则a＞1①；
当x≤1时f（x）=（2-$\frac{a}{2}$）x+2单调递增，
则2-$\frac{a}{2}$＞0，解得a＜4，②；
且（2-$\frac{a}{2}$）×1+2≤a¹，解得a≥$\frac{8}{3}$，③．
综合①②③，得实数a取值范围是[$\frac{8}{3}$，4）．
故答案为：[$\frac{8}{3}$，4]．

点评 本题考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．