Question

（本题满分14分）

如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

     （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ） 求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．

是正三角形，．

又底面侧面，且交线为．

侧面．

连，则直线与侧面所成的角为．   ……………2分

在中，，解得．       …………3分

此正三棱柱的侧棱长为．                         ……………………4分

 注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过作于，连，

侧面．

为二面角的平面角．           ……………………………6分

在中，，又

，  ．

又

在中，．               …………………………8分

故二面角的大小为．               …………………………9分

解法2：（向量法，见后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．                      …………10分

在中，．         …………12分

为中点，点到平面的距离为．       …………14分

解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由可求．

解法4：（向量法，见后）

题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由 得．

取                                       …………6分

又平面的一个法向量                          …………7分

．   …………8分

结合图形可知，二面角的大小为．         …………9分

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

点到平面的距离＝．14分