Question

F₁、F₂是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则

PF1

•

PF2

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：利用参数方程，设出点P的坐标，求出

PF1

•

PF2

的解析式，利用三角函数求出最大值．

解答： 解：在椭圆

x2

4

+y²=1中，
a=2，b=1，∴c=

3

；
∴焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）；
设P满足

x=2cosθ y=sinθ

，θ∈[0，2π）；
∴

PF1

•

PF2

=（2cosθ+

3

，sinθ）•（2cosθ-

3

，sinθ）
=（2cosθ+

3

）（2cosθ-

3

）+sin²θ
=4cos²θ-3+sin²θ=3cos²θ-2≤1，
当θ=0时，“=”成立．
故答案为：1．

点评：本题考查了向量与圆锥曲线的应用问题，解题时应利用参数方程，设出点P的坐标，求出目标函数的最值，是中档题．