Question

15．已知f（x）=ax²-2x-1（a＞0）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象和性质，结合已知中函数的解析式，易求出f（x）的最小值；
（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，即-2≤f（x）≤2，分段求出g（a）的解析式，进而可得g（a）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-2x-1，a＞0，
∴$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{a}-1$；
（2）∵|f（x）|≤2，
∴-2≤f（x）≤2，
1°若$-\frac{1}{a}-1＜-2，即0＜a＜1时$，g（a）为f（x）=-2的小根，
则：ax²-2x+1=0，
∴$g（a）=\frac{{2-\sqrt{4-4a}}}{2a}=\frac{{1-\sqrt{1-a}}}{a}$=$\frac{1}{1+\sqrt{1-a}}$，
此时函数为增函数，
故g（a）＜g（1）=1
2°若$-\frac{1}{a}-1≥-2，即a≥1时$，g（a）为f（x）=2的大根，
则：ax²-2x-1=2，
∴ax²-2x-3=0，
∴$g（a）=\frac{{2+\sqrt{4+12a}}}{2a}=\frac{{1+\sqrt{1+3a}}}{a}$=$\frac{-3}{1-\sqrt{1+3a}}$，
此时函数为减函数，
故g（a）≤g（1）=3，
故（a）的最大值为3．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，难度中档．