Question

如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.

求证：AB²＝4AP·BQ.

Answer 1

见解析

证明　法一　连接OP、OQ，如图所示．

∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AP、BQ为⊙O的切线，
AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A＝∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.
∴△AOP∽△BQO.
∴＝.
∵AB＝2AO＝2OB，∴AB²＝4AP·BQ.
法二　连接OC.
同上可证得∠2＋∠3＝90°.
∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中，由射影定理可得OC²＝PC·CQ，
利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.
OC²＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB²＝4AP·BQ.
法三　如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.

∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，
∴∠A＝∠B＝90°，
AP＝PC，CQ＝BQ.
∴四边形ABDP为矩形，
PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ²＝PD²＋QD²，
∴(AP＋BQ)²＝AB²＋(BQ－AP)².
∴4AP·BQ＝AB².