Question

设F₁、F₂为椭圆16x²+25y²=400的焦点，P为椭圆上的一点，且∠F₁PF₂=120°，则△PF₁F₂的面积为________．

Answer 1

16
分析：根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=10…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=36…②．由①②联解，得PF₁•PF₂=64，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF₁F₂的面积．
解答：∵椭圆方程是，
∴a²=25，b²=16．可得a=5，c²=25-16=9，即c=3．
∵P是椭圆上的一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=10…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=6
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=36
即PF₁²+PF₂²+PF₁•PF₂=36…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=64
根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=PF₁•PF₂sin120°=16．
故答案为：16．
点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点的张角为120°，求椭圆两焦点与该点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的简单性质和正、余弦定理等知识点，属于中档题．